3 - нахождение корней нелинейного уравнения, многофайловые проекты
Лабораторная работа 3 для студентов курса “Основы программирования” 1 курса кафедры ИУ5 МГТУ им Н.Э. Баумана.
Содержание
Цель работы
Продолжить развивать навыки работы с циклами и функциями. Научиться работать с многофайловыми проектами. Освоить численные методы решения нелинейных уравнений.
Начало работы
Зайдите в свою локальную директорию с репозиторием для выполнения лабораторных работ. Заберите ветку с соответствующей лабораторной работой из общего репозитория (в лабораторной работе 0 был отмечен меткой upstream):
git pull upstream
или
git pull upstream lab_3
Переключитесь на ветку с текущей лабораторной работой:
git checkout lab_3
Свяжите ветку локального репозитория с вашим удаленным репозиторием:
git push --set-upstream origin lab_3
Указания по выполнению лабораторной работы
Для всех лабораторных работ, начиная с этой!
Обеспечить работу всего приложения в цикле, в котором запрашивается, следует ли продолжить выполнение. Также реализовать интерактивное меню с выбором нужного задания. Сами меню и цикл должны быть реализованы в виде двух отдельных функций.
Все возможные варианты выбора для интерактивного меню (например, задания), должны быть указаны в scoped enum (enum class). Для считывания следует использовать переменную того же низлежащего типа, что и в заданном enum. Затем можно использовать switch-case по этой переменной, которая кастуется (через static_cast) к enum.
Функция main должна служить исключительно в качестве точки входа в приложение. Никакой бизнес-логики в этой функции быть не должно.
Все переменные, изменение которых в дальнейшем не подразумевается, должны быть помечены как const.
Проект должен состоять как минимум из трех файлов. Отдельный файл main.cpp с функцией main, в которой осуществляется передача управления. Далее пара файлов: заголовочный (расширения .h/.hpp) и парный ему файл с исходным кодом (.cpp). Названия файлов должны быть одинаковыми и корректно отражать суть содержимого. В заголовочном файле должны лежать описания типов и объявления интерфейсных функций. То есть таких функций, которые напрямую предоставляют возможность пользоваться приложением. Например, функции, отвечающие за цикл приложения, вывод интерактивного меню и вызов функций, выполняющих соответственное задание, непосредственно те функции, которые отвечают за выполнение конкретного задания, и т.д. Вспомогательные функции должны быть вынесены в анонимный неймспейс. Например, это могут быть функции, связанные непосредственно с вычислениями.
Обратите внимание! На вход компилятору заголовочные файлы не подаются.
Вычисления и ввод/вывод по возможности* должны быть отделены друг от друга разным функциями. Например, функция для выполнения определенного задания может внутри себя запрашивать пользовательский ввод и выводить данные, а затем вызывать функцию/функции для вычисления корня уравнения. Но в самой функции, отвечающей за вычисления, никакого вывода быть не должно. Если вывод данных нетривиален (например, используется таблица с форматированием), то его тоже следует вынести в отдельную вспомогательную функцию.
*По возможности - значит по умолчанию отделяются, но если совсем-совсем-совсем непонятно как, то можно совместить.
Все типы и функции, указанные в заголовочном файле, должны находиться в именованном неймспейсе. Также допускается использование вложенных неймспейсов в случае необходимости. Имя неймспейса должно отражать суть содержимого.
Все функции должны быть помечены атрибутами (прежде всего [[nodiscard]]) в тех случаях, когда это необходимо (для [[nodiscard]] всегда, когда функция возвращает результаты каких-то вычислений/проверок/инициализаций и т.п.).
Метод итераций
Заданное уравнение f(x) = 0 приводят к виду: x = φ(x). Выбирая некоторое приближенное значение x[0], вычисляют последовательные приближения x[i + 1] = φ(x[i]), где i ∊ [0, ∞).
Сходимость таких приближений к искомому решению x требует отдельного исследования. Сходимость зависит прежде всего от вида функции, а также от начального приближения (в данной лабораторной работе такие исследования не делаются, но для уравнения x - 10cos(x) = 0 решения методом Ньютона и методом простой итерации расходятся). Для того, чтобы программа нахождения корней этими методами не зацикливалась, следует ограничивать максимальное число итераций N[max], например, N[max] < 1e5.
Метод Ньютона
Основан на методе итераций. Также известен как метод касательных.
Метод заключается в том, что сначала задается начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к графику исследуемой функции в этой точке, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка берется в качестве следующего приближения.
Уравнение для нахождения следующий точки x[i + 1]:
Метод половинного деления
Изначально берется отрезок [x[L], x[R]], значений x, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков. То есть f(x[L]) ∙ f(x[R]) < 0 (в лабораторной работе следует просто найти знаки функции в данных точках и сравнить их, т.к. это будет более эффективно, чем умножение двух функций). Для непрерывных функций это будет означать, что искомый x находится на данном отрезке.
Затем находится значение функции на середине этого отрезка x[M]. Если значение не является искомым, то отрезок делится на два равных: [x[L], x[M]] и [x[M], x[R]].
Выбирается тот отрезок, у которого значения функций на концах отрезка имеют противоположные знаки. Для этого отрезка повторяется предыдущее действие.
И так продолжается, пока не будет найден корень уравнения.
Задание
Найти корень уравнения: x - cos(x) = 0:
- Итерационным методом;
- Методом половинного деления;
- Методом Ньютона.
Для каждого из трех методов определить количество итераций цикла N.
Обеспечить возможность посчитать результат с разной погрешностью (например, 1e-6, 1e-8), а также возможность задать коэффицент при cos(x) (например, чтобы посчитать x - 10cos(x) = 0).
Объяснить результаты. Для метода половинного деления начальный диапазон для поиска корня также должен указываться пользователем.